Das ist simuliert für den Fall, dass jeder der vier Spieler eine andere Zahl wählt.
Erst mal vielen Dank für deine Simulation! Spannend wäre nun noch eine zweite Simulation für den Fall, dass alle vier Helden dieselbe Zahl wählen, und dann ein direkter Vergleich der beiden Simulationen nebeneinander. Vielleicht findest du dazu ja auch noch mal die Zeit!? Das wäre super duper lieb!
Das ist simuliert für den Fall, dass jeder der vier Spieler eine andere Zahl wählt.
Erst mal vielen Dank für deine Simulation! Spannend wäre nun noch eine zweite Simulation für den Fall, dass alle vier Helden dieselbe Zahl wählen, und dann ein direkter Vergleich der beiden Simulationen nebeneinander. Vielleicht findest du dazu ja auch noch mal die Zeit!? Das wäre super duper lieb!
Klar, das ist ja super easy!
Wenig überraschend startet die Kurve bei den von koala-goalie errechneten 52% und zerfällt dann exponentiell(?). Anyway, you get the idea. Der Durchschnittswert über alle 100000 Simulationen in meinem Fall waren 1,855 Schaden pro Spieler.
Wählt jeder Spieler eine andere Zahl komme ich in der Simulation übrigens auf einen durchschnittlichen Schaden von 4,237 pro Spieler, wobei der zuerst getroffene dabei im Schnitt auf nur 0,024 Schaden kommt, während der vierte Spieler (der alleine um sein Leben würfeln muss) im Durchschnitt 13,671 Schaden abbekommt. Wie gesagt: diese Simulation sortiert die Spieler in zuerst bis zuletzt erwürfelten. Würde man das nach individuellem Spieler aufschlüsseln, sollte sich der Schaden natürlich im Mittel gleich verteilen, weil mal Spieler 1, mal 2, mal 3, mal 4 zuerst seine Augenzahl trifft.
Das Ganze lässt sich auch berechnen:
2 * (5/6)^4 * ( 1 + (5/6)^4 + ((5/6)^4)^2 + ... )
= 2 * (5/6)^4 * (1 / (1 - (5/6)^4))
= 2 * (625/1296) * (1 / (1 - 625/1296))
= 1.8628912071535022
(mit Hilfe der Formel für geometrische Reihen)
Annahme ist, dass keiner der Helden vorzeitig stirbt ..
Hat jemand eine Idee, wie man den erwarteten Schaden tatsächlich berechnet, wenn jeder Held eine andere Zahl wählt?
Vermutlich benötigt man Markov-Ketten?
Hat jemand eine Idee, wie man den erwarteten Schaden tatsächlich berechnet, wenn jeder Held eine andere Zahl wählt?
Vermutlich benötigt man Markov-Ketten?
Aber die Markov Kette gibt dir auch keine geschlossene Formel und ist halt auch unendlich ab lang.
Und bei unabhängiger Wahl der Zahlen steht das Wkt. Maß abhängig vom Index auch mit im Exponenten ... und gestern Abend hatte ich dann keine Idee mehr ob bzw. wie das aufzulösen wäre. Aber vom technischen Klein-Klein bin ich jetzt auch schon zu weit weg.
Fazit: Alle Helden müssen die gleiche Zahl wählen, da wir es sonst nicht berechnen können 
Fazit: Alle Helden müssen die gleiche Zahl wählen, da wir es sonst nicht berechnen können
Auf dem Bauch heraus würde ich sagen, dass
das keine Rolle spielt und zum gleichen Ergebnis führen sollte, da man die einzelnen Charaktere (mit jeweils allen Würfeln) isoliert betrachtet können müsste, müsste mir die Abhängigkeiten aber mal genauer ansehen… 
Auf dem Bauch heraus würde ich sagen, dass
das keine Rolle spielt und zum gleichen Ergebnis führen sollte, da man die einzelnen Charaktere (mit jeweils allen Würfeln) isoliert betrachtet können müsste, müsste mir die Abhängigkeiten aber mal genauer ansehen…
Nein, so wie ich die Aufgabe verstanden habe, erhält ein Held keinen Schaden und ist raus, solange einer der Würfel die eigenen geratene Zahl zeigt (egal welcher der Helden ihn gewürfelt hat).
In der ersten Runde macht dies für den einzelnen Helden noch keinen Unterschied. Aber ab der zweiten Runde sind entweder alle Helden schon mit ihrer Prüfung durch (mindestens einer hat ihre Zahl gewürfelt) oder sie sind alle noch drinnen und haben wieder 4 Würfel, um die geraten Zahl zu würfeln.
Wenn jeder eine andere Zahl wählt, kann es auch vorkommen, dass zwischen 1 bis 3 Helden in die nächste Runde müssen. Da werden aber jetzt weniger Würfel gewürfelt und die Chance, jeweils ihre geratene Zahl gewürfelt zu bekommen, sinkt damit. Entsprechend steigt der zu erwartende Schaden ...
Alles anzeigenAuf dem Bauch heraus würde ich sagen, dass
das keine Rolle spielt und zum gleichen Ergebnis führen sollte, da man die einzelnen Charaktere (mit jeweils allen Würfeln) isoliert betrachtet können müsste, müsste mir die Abhängigkeiten aber mal genauer ansehen…
Nein, so wie ich die Aufgabe verstanden habe, erhält ein Held keinen Schaden und ist raus, solange einer der Würfel die eigenen geratene Zahl zeigt (egal welcher der Helden ihn gewürfelt hat).
In der ersten Runde macht dies für den einzelnen Helden noch keinen Unterschied. Aber ab der zweiten Runde sind entweder alle Helden schon mit ihrer Prüfung durch (mindestens einer hat ihre Zahl gewürfelt) oder sie sind alle noch drinnen und haben wieder 4 Würfel, um die geraten Zahl zu würfeln.
Wenn jeder eine andere Zahl wählt, kann es auch vorkommen, dass zwischen 1 bis 3 Helden in die nächste Runde müssen. Da werden aber jetzt weniger Würfel gewürfelt und die Chance, jeweils ihre geratene Zahl gewürfelt zu bekommen, sinkt damit. Entsprechend steigt der zu erwartende Schaden ...
Ok, kann ich nachvollziehen - das sind die erwähnten Abhängigkeiten, die ich mir bislang nicht genau angeguckt habe - falls ich später Zeit habe, schau ich es mir nochmal genau an…
EDIT: Ok, augenscheinlich ist klar, dass die sinnvollste Strategie für den kleinsten gesamt-E(X) ist, wenn alle Helden die gleiche Zahl wählen, da die W‘keit, dass die Zahl dann nicht beim ersten Wurf fällt, lediglich bei 1,2% liegt. Falls jeder anders wählt und irgendwann nur einer übrig bleibt, steht der vor dem gleichen Dilemma, aber nur mit einem Würfel. Interessant wäre jetzt im Sinne des Spiels zu wissen, ob man insgesamt möglichst wenig Schaden will oder wenigstens einen Helden, der möglichst ohne DMG aus der Probe hervorgeht - das hat unterschiedliche Strategien zur Folge.
E(X) für den Fall, dass alle stets unterschiedlich wählen, ist überhaupt nicht trivial auszurechnen - habe mir mal nur erste Notizen gemacht, aber es wird ziemlich verschachtelt. Momenten habe ich noch keine elegante Lösung gefunden, werde aber gucken, ob ich mich dem Problem in den nächsten Tagen mal ausführlicher widmen kann… - danke jedenfalls für den Input!
Wenn jeder eine andere Zahl wählt, kann es auch vorkommen, dass zwischen 1 bis 3 Helden in die nächste Runde müssen. Da werden aber jetzt weniger Würfel gewürfelt und die Chance, jeweils ihre geratene Zahl gewürfelt zu bekommen, sinkt damit. Entsprechend steigt der zu erwartende Schaden ...
Oder auf die Realitaet gemappt: Bleibt die Gruppe zusammen (waehlt die gleiche Zahl), sind ihre Ueberlebenschancen besser. Lernt man in jedem Horrorfilm!
Wenn jemand von Euch schon immer ihre/seine Siegchancen bei Obstgarten wissen wollte, dann lohnt sich die neue Ausgabe der Wurzel umso mehr:
Tatsächlich ist es der Mathematikerin auch hier nicht durch einen direkten Weg sondern nur Mithilfe eines Rechners gelungen eine Antwort auf die Frage nach ihren Siegchancen zu finden.
Ich finde es immer wieder erstaunlich wie auch sehr simple Spiele schon außerhalb des, in einem vernünftigen Zeitrahmen händisch, berechenbaren liegen.
Zu der Problematik aus einem anderen Thread, bei n Spielern den Startspieler zu ermitteln, wenn man bis zu n Finger hochheben kann und dann abgezählt wird:
Ist der Spieler, bei dem man beginnt, zufällig bestimmt, wird das Problem symmetrisch und die Problematik des Startspielers verschiebt sich hierbei nur; nehmen wir also an, links vom Anleitenden wird angefangen, abzuzählen (im Kreis):
Dürfen maximal m-1 Finger pro Spieler gehoben werden, so gibt es m (wegen der Null) verschiedene Möglichkeiten pro Spieler und m^n Ausgänge. Da diese Ausgänge zu gleich großen Stücken auf die n Spieler verteilt werden muss, damit die W‘keiten gleich groß sind, können wir m schon als Vielfache von n eingrenzen.
Bsp.:
n=3 Spieler mit jeweils 0, 1 oder 2 Fingern, also m=3
f= 0 1 2 3 4 5 6
Mgl. 1 3 6 7 6 3 1
Spieler 1 (der Anleiter) gewinnt bei 1+7+1=9 Ausgängen, Spieler 2 und 3 bei jeweils 3+6=9 Ausgängen.
n=m=4
f= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Mgl. 1 4 10 20 31 40 44 40 31 20 10 4 1
Jeder Spieler gewinnt hier bei 64 Ausgängen.
Am Beispiel: Aufgrund der symmetrischen Verteilung (Finger und Nicht-Finger wechseln die Plätze) haben Spieler 2 und Spieler n immer dieselbe Anzahl von Ausgängen, genauso Spieler 3 und Spieler n-1. Spieler 2 und Spieler 3 haben aber ebenso gleich viele Ausgänge, da das, was Spieler 3 am aufsteigenden Ast mehr hat, am absteigenden Ast wieder wegfällt, da die hinzugekommenen Ausgänge immer noch aufeinander folgen (siehe EDIT unten, ist allgemein evtl. bisschen komplizierter).
Das lässt sich auch induktiv auf weitere Spieler übertragen und mit Hilfe der Transitivität folgt, dass alle Spieler gleich viele Ausgänge haben. Für ungerade Spielerzahlen müsste man jetzt noch einen zusätzlichen Schritt beachten, aber ich hoffe, dass ich das Prinzip rüberbringen konnte.
Lässt sich natürlich auf „Spielerzahl gleich maximale Fingerzahl“ von HRune übertragen, wenn die Null als mögliche Fingerzahl wegfällt (siehe ursprünglicher Ausgangspunkt).
EDIT: Ich habe irgendwo noch eine Beweislücke für den allgemeinen Fall, aber ich bin körperlich gerade nicht auf der Höhe, sorry… 😅
Lässt sich natürlich auf „Spielerzahl gleich maximale Fingerzahl“ von HRune übertragen, wenn die Null als mögliche Fingerzahl wegfällt (siehe ursprünglicher Ausgangspunkt).
Die Null muss aus meiner Sicht wegfallen, um ein Gesamtergebnis von 0 zu vermeiden. (Wie zähle ich denn null Finger ab?) Insofern muss 1 das Minimum für jeden Spieler sein.
Ich hatte mir das Ganze gar nicht erst mathematisch hergeleitet (dazu bin ich zu sehr aus dem Thema raus), sondern ich hatte mir nur zwei Gegenbeispiele gesucht, die unzutreffend waren, ein Beispiel für m>n und ein Beispiel für m<n.
m>n: Wenn 2 Spieler die Möglichkeit haben, 1-3 Finger zu wählen, gibt es genau 9 mögliche Ereignisse, die sich 5:4 verteilen. Dies ist ein Gegenbeweise zur These, dass m>n immer gleichverteilt sei.
m<n: Wenn 3 Spieler die Möglichkeit haben, 1-2 Finger zu wählen, gibt es genau 8 mögliche Ereignisse, die sich auf die 3 Spieler 3:3:2 verteilen. Dies ist ein Gegenbeweise zur These, dass m<n immer gleichverteilt sei. (Noch krasser sieht man es bei 6 Spielern mit 1-2 Fingern, da verteilen sich die 64 möglichen Ereignisse 20:15:15:6:6:2.)
(Vorausgesetzt ist natürlich, dass jeder Spieler jede mögliche Zahl gleichverteilt wählt.)
Im Prinzip ist das auch intuitiv schon klar, wenn man sich vor Augen hält, wie die Erwartungswertkurve bei der Summe von 2 Würfeln verläuft mit der 7 als wahrscheinlichster Zahl, denn letztendlich ist das Zeigen der Finger aus stochastischer Sicht nichts anderes als das Würfeln eines Würfels.
Jetzt weiß ich wieder, warum ich damals im Studium Mathe als hoffnungsvoll begonnenes Fach nach zwei Semestern getauscht habe. Da kommen gerade beim durchlesen der Herleitungen so seltsame Gefühle auf. Aber die Startspielerfrage ist in jedem Fall bitte zu lösen. Für die Menschen.
Die Null muss aus meiner Sicht wegfallen, um ein Gesamtergebnis von 0 zu vermeiden. (Wie zähle ich denn null Finger ab?) Insofern muss 1 das Minimum für jeden Spieler sein.
Die Null ist mathematisch genau n (Spieleranzahl), aber es intuitiver ab 1 zu beginnen.
M.E. ist die Fragestellung aber keine Stochastikfrage, da die Spieler nicht zufällig wählen, sondern geschickte Zahlen wählen können. Interessant ist aber die Frage "Was sollte ich auf Position x bei n-Spielern wählen, wenn alle anderen eine zufällige Zahl (gleichverteilt) zwischen 1 und n bzw. 1 und n + m wählen?"
Ich glaube, ich verstehe diese Fragestellung nicht. Was meinst du im letzten Satz mit "n+m"?
Solange ich zwischen 1 und n=m wähle, verstehe ich auch nicht, wie ich "geschickt" eine Zahl wählen können soll, weil doch bei n=m jeder Spieler mit der gleichen Wahrscheinlichkeit getroffen wird!?
Man kann natürlich spieltheoretisch eingreifen und versuchen, bestimmte Zahlen zu wählen, da nicht alle Kombinationen gleichwahrscheinlich sind. Dieser Aspekt macht das Beispiel aber obsolet.
Bei Null Fingern wäre übrigens der Anleiter der Startspieler, insofern geht das theoretisch schon ( Fobs hat es ja auf n übertragen); mathematisch ist es halt einfacher, bei null zu beginnen…
Alles anzeigenLässt sich natürlich auf „Spielerzahl gleich maximale Fingerzahl“ von HRune übertragen, wenn die Null als mögliche Fingerzahl wegfällt (siehe ursprünglicher Ausgangspunkt).
Die Null muss aus meiner Sicht wegfallen, um ein Gesamtergebnis von 0 zu vermeiden. (Wie zähle ich denn null Finger ab?) Insofern muss 1 das Minimum für jeden Spieler sein.
Ich hatte mir das Ganze gar nicht erst mathematisch hergeleitet (dazu bin ich zu sehr aus dem Thema raus), sondern ich hatte mir nur zwei Gegenbeispiele gesucht, die unzutreffend waren, ein Beispiel für m>n und ein Beispiel für m<n.
m>n: Wenn 2 Spieler die Möglichkeit haben, 1-3 Finger zu wählen, gibt es genau 9 mögliche Ereignisse, die sich 5:4 verteilen. Dies ist ein Gegenbeweise zur These, dass m>n immer gleichverteilt sei.
m<n: Wenn 3 Spieler die Möglichkeit haben, 1-2 Finger zu wählen, gibt es genau 8 mögliche Ereignisse, die sich auf die 3 Spieler 3:3:2 verteilen. Dies ist ein Gegenbeweise zur These, dass m<n immer gleichverteilt sei. (Noch krasser sieht man es bei 6 Spielern mit 1-2 Fingern, da verteilen sich die 64 möglichen Ereignisse 20:15:15:6:6:2.)
(Vorausgesetzt ist natürlich, dass jeder Spieler jede mögliche Zahl gleichverteilt wählt.)
Im Prinzip ist das auch intuitiv schon klar, wenn man sich vor Augen hält, wie die Erwartungswertkurve bei der Summe von 2 Würfeln verläuft mit der 7 als wahrscheinlichster Zahl, denn letztendlich ist das Zeigen der Finger aus stochastischer Sicht nichts anderes als das Würfeln eines Würfels.
Nachdem ich bemerkte habe, dass ich den Stochastik-Thread hier wohl mal blockiert hatte, finde ich jetzt auch wieder hierin. Wie schon im Startspielerthread geschrieben, bin ich hier voll bei Dir - Deine geführten Gegenbeispiele belegen das ja schon sehr gut. Umgekehrt kann man dies für n Spieler und n Finger auch einfach herleiten, bei Annahme der Gleichverteilung der Wahl von 1..n Fingern pro Spieler.
Letzlich könnte man Null Finger mitnehmen, dürfte dann maximal aber n-1 Finger bei n Spielern zeigen. Ist für mich aber irgendwie schöner, bei einem Finger Minimum zu starten.
Dass es mit Null bis n-1 auch funktioniert, ist natürlich logisch, aber eben sehr unintuitiv, wenn dann mal 0 als Resultat rauskommt. Dann muss man nämlich unter Umständen einem Nichtmathematik-Mitspieler erklären, wieso auch die Null funktioniert, und dazu hätte ich keine große Lust ...
Wieso? Wäre doch gleicher guter Trash-Talk, wenn man sagt „So, die Null fängt an.“
Lässt sich natürlich auf „Spielerzahl gleich maximale Fingerzahl“ von HRune übertragen, wenn die Null als mögliche Fingerzahl wegfällt (siehe ursprünglicher Ausgangspunkt).
Die Null muss aus meiner Sicht wegfallen, um ein Gesamtergebnis von 0 zu vermeiden. (Wie zähle ich denn null Finger ab?) Insofern muss 1 das Minimum für jeden Spieler sein.
Ich fange bei dem ersten Spieler mit 0 an zu zählen, weil ich sowieso nicht abzähle, sondern einfach die Anzahl an Fingern module der Anzahl an Spielern rechne. Dabei kommt ein Ergebnis zwischen 0 und Anzahl Spieler minus 1 raus und das zähle ich dann ab, beginnend bei 0 für den ersten Spieler. Finde ich angenehmer als bei 15 Fingern bei 3 Spielern, 5 mal im Kreis zu zählen. Lieber einfach 15 mod 3 = 0 rechnen und sagen "Max du fängst an".
Lieber einfach 15 mod 3 = 0 rechnen und sagen "Max du fängst an".
Wenn Nicht-Mathematiker am Tisch sitzen, funzt das so nicht, weil man dann erklären muss, was man da gemacht hat, und das dauert noch länger. 
Lieber einfach 15 mod 3 = 0 rechnen und sagen "Max du fängst an".
Wenn Nicht-Mathematiker am Tisch sitzen, funzt das so nicht, weil man dann erklären muss, was man da gemacht hat, und das dauert noch länger.
Viel besser ist: 3 mod 15 = 3 und sagen "Max du fängst an". (funktioniert auch nur bei Mathematikern)
Und wenn kein Max am Tisch sitzt?
oder der Michael, die Wahrscheinlichkeit spricht sogar eher für Michael als Max
Lieber einfach 15 mod 3 = 0 rechnen und sagen "Max du fängst an".
Wenn Nicht-Mathematiker am Tisch sitzen, funzt das so nicht, weil man dann erklären muss, was man da gemacht hat, und das dauert noch länger.
Umso besser. Dann haben die anderen auch etwas vom Spaß an der Mathematik.
oder der Michael, die Wahrscheinlichkeit spricht sogar eher für Michael als Max
Deine Mitspieler sind eher älteren Jahrgangs, oder?!
oder der Michael, die Wahrscheinlichkeit spricht sogar eher für Michael als Max
die Wahrscheinlichkeit spricht sogar eher für Mohammad (häufigster Vorname der Welt)
oder der Michael, die Wahrscheinlichkeit spricht sogar eher für Michael als Max
die Wahrscheinlichkeit spricht sogar eher für Mohammad (häufigster Vorname der Welt)
Hm ok hast ja gewonnen. Fobs du bist Startspieler! 
Ich bin beim "tot-analysieren" einer Ausgangssituation in einem Spiel (Chroniken von Avel) auf ein kleines bis mittleres Stochastik Problem gestoßen und im Zuge dessen wohl auch an meine Grenzen.
Da es eventuell den Spielspaß des Spieles mindert schaut bitte nur rein wenn euch das egal ist, oder ihr das Spiel eh nicht habt.
Grundsätzlich geht es um Eintreten von Ereignissen beim Würfeln von 1, 2, bzw. 3 Würfel (teilweise unterschiedliche Trefferverteilung der Würfel).
Einleitend (und an sich noch frei von Spoilern):
Theoretisch geht die Berechnung der Trefferwahrscheinlichkeit noch weiter, da die eigenen Treffer mit Verteidigungswürfel der Gegner gegengerechnet werden.
Mir geht es jedoch erstmal darum, ob ich richtig liege. Korrigiert mich bitte bei Fehlern. Das letzte Mal als ich hier gepostet habe, habe ich festgestellt wie lange das alles bei mir her ist.
Mir geht es jedoch erstmal darum, ob ich richtig liege
Habe alle Rechenwege verfolgt, alles richtig. Die Zahlen habe ich jetzt nicht explizit nachgerechnet.
Hier mal ein Klassiker über den "Survivor-Bias":
Hier mal ein Klassiker über den "Survivor-Bias":
Die Situation hatte ich schonmal, weil als Argument gegen moderne Medizin kam, "Wie krank unsere alten Leute doch sind" 😅
Hier mal ein Klassiker über den "Survivor-Bias":
Die Situation hatte ich schonmal, weil als Argument gegen moderne Medizin kam, "Wie krank unsere alten Leute doch sind" 😅
Das ganze gibt’s auch andersrum. Wenn man argumentiert, dass unsere Gesellschaft ihren Zenit überschritten hat und die Jugend immer nachlässiger wird, wird gerne Sokrates zitiert, der dasselbe bereits im antiken Griechenland bemängelte. Fun fact: Athen ist dann ja auch tatsächlich untergegangen…
Heute zufällig diesen schönen Text über das Inspektionsparadoxon gefunden.
https://www.spektrum.de/kolumn…us-immer-zu-spaet/2184321
Heute zufällig diesen schönen Text über das Inspektionsparadoxon gefunden.
Ich heute morgen auch:
Ah, nicht gesehen. 😁👍🏻
Und noch ein sehr schöner Artikel über Zufälle und Wahrscheinlichkeiten, der einige sehr schöne Anekdoten über Zufälle enthält:
