Waypoints: Statistik für Anzahl der Züge pro Runde (Hilfe gesucht)

    Über #Waypoints wird auf BGG diskutiert, was die Zufälligkeit des Würfels angeht: https://boardgamegeek.com/thread/3115426/control-dice-rolls

    Etwas Hintergrund, wer das Spiel nicht kennt: Es gibt vier Runden. Zu jeder Runde gibt es 16 Felder auf einer Wetterleiste. Ein W6 gibt zufällig vor, wie weit ich voranschreite und welches Wetter in meinem Zug herrscht (was die Bewegungspunkte beeinflusst, was hier aber egal ist). Das Problem ist nun: In einem Extremfall habe ich 16 Züge pro Runde, wenn ich nur Einsen würfel. Damit kann ich die Landkarte schon fast in einer Runde völlig abgrasen. Das andere Extrem sind gerade einmal 3 Züge (3x6 > 16), womit ich zumindest im Solospiel die Partie auch abbrechen kann, denn auf irgendeinen Highscore komme ich damit nicht.

    Aus dem Grund überlege auch ich, was denn eine bessere Verteilung wäre. Zum Beispiel ein W4. Oder ein W4 mit Werten 2-5. Oder ein W6 mit Werten 2,3,3,4,4,5. Oder ein Kartendeck, und dann mit verschiedenen Verteilungen der Zahlwerte. Zum Beispiel die Werte 1-6. Oder 2,3,3,4,4,5. Oder je 2x 1-5.

    Was einfach ist: Best und Worst Case für die Anzahl der Züge kann ich problemlos bestimmen. Aber wie errechne ich denn (bei der Verteilung über Karten) die Wahrscheinlichkeitskurve für jeden Anzahl der Züge, sodass ich den Peak sehe bzw. das Mittel berechnen kann? Mir fiele nur das stupide Simulieren von 1.000.000 Runden ein, um grob zu sehen, wie lange im Schnitt eine Runde dauert. Vielleicht gibt es da aber auch eine Formel, mit der ich das leicht berechnen kann. Wisst ihr da was?

    Gruß Dee

    Zitat von Dee

    Was einfach ist: Best und Worst Case für die Anzahl der Züge kann ich problemlos bestimmen. Aber wie errechne ich denn (bei der Verteilung über Karten) die Wahrscheinlichkeitskurve für jeden Anzahl der Züge, sodass ich den Peak sehe bzw. das Mittel berechnen kann? Mir fiele nur das stupide Simulieren von 1.000.000 Runden ein, um grob zu sehen, wie lange im Schnitt eine Runde dauert. Vielleicht gibt es da aber auch eine Formel, mit der ich das leicht berechnen kann. Wisst ihr da was?

    Die (diskrete) Wahrscheinlichkeitsverteilung [WV] nach mehrfachem Würfeln lässt sich leicht mit Faltungsoperationen der Einzel-WV berechnen. Im Prinzip ein Einzeiler ... mit der richtigen Mathe-Bibliothek.

    Beispiel: Nehmen wir einen W6 mit Werten 2,3,3,3,4,4 (mal absichtlich asymmetrisch, damit's nicht ganz so trivial ist). Dann wäre die Einzel-WV ein Vektor 1/6 * [0,0,1,3,2] für die Zahlen 0 bis 4. Die beiden Nuller am Anfang könnte man theoretisch auch weglassen, aber wenn man bei 0 anfängt, dann gilt genau das auch für alle Faltungen, d.h. man muss nicht nachverfolgen, welcher Würfelsumme der erste Nicht-Null-Wert entspricht (-> minimal möglicher Wert; wäre auch nicht sooo schwierig).

    Diesen Einzel-Vektor faltest du bei X Würfen dann eben X mal mit sich selbst. In Matlab (teuer) / Octave (kostenfrei) sieht das z.B. so aus:

    Code
    >> a = [0 0 1 3 2];
>> a2 = conv(a,a)
a2 =
    0    0    0    0    1    6   13   12    4

>> a3 = conv(a,a2)
a3 =
    0    0    0    0    0    0    1    9   33   63   66   36    8

    (Das 1/6, 1/36 bzw 1/216 habe ich der Einfachheit halber weggelassen).

    Das Würfeln mit unterschiedlichen Würfeln funktioniert ganz entsprechend.

    BTW: Den Mittelwert kannst du auch noch billiger haben. Der Mittelwert ist die Summe der Mittelwerte jedes einzelnen Würfelereignisses, und das ist beim W6 die Summe aller Augen durch 6. Bei drei Würfen des oben genannten Beispiel-Würfels mit 2,3,3,3,4,4 Augen also die Summe dieser sechs Zahlen (19) geteilt durch 2, d.h. 9,5. Geht problemlos im Kopf.

    Gegenrechnung mit Octave über elementweises Produkt:

    Code
    >> b = 0:12
b =
    0    1    2    3    4    5    6    7    8    9   10   11   12

>> sum(a3.*b) / 216
ans = 9.5000

    Danke fürs Antworten. Faltung hatte ich definitiv nicht mehr im Hinterkopf. Zu lang her, danke. Aber: Das funktioniert bei Würfeln und da war mir das Ergebnis (vor allem Mittelwert) klar.

    Wie ist das bei Karten, bspw. bei der Verteilung 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5? Oder kann ich aufgrund der Zufälligkeit des Deckmischens hier auch einfach den Mittelwert bilden, also 3 und damit wäre die Anzahl der Züge im Mittel bei 16/3 = 5,333, was gar nicht so falsch klingt.

    Wieso Karten? Würfel sind zu zufällig. Auch mit einem W6 mit 2, 3, 3, 4, 4, 5 streut die Anzahl der Züge zwischen 3 und 8. Zusätzlich hätte ich die 1 gern dabei, weil ansonsten das erste Feld einer Wetterleiste zu Rundenbeginn nie erreicht werden könnte. Und mit einer 1 streut die Anzahl der Züge dann halt noch extremer zwischen 3 und 16. Bei obiger Kartenverteilung streut es halt nur zwischen 4 und 7, was mir besser gefällt.

    Gruß Dee

    Ich würde umgekehrt fragen, was möchtest Du denn?

    Es gibt ja noch ganz andere Möglichkeiten, z.B. geht der Wetterstein grundsätzlich drei Schritte, und Du manipulierst diesen Wert, z.B. von -2 bis +1.

    Anders gefragt, welchen Mittelwert mit welcher Streuung stellst Du Dir vor?

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    Einmal editiert, zuletzt von Sternenfahrer (31. Juli 2023 um 08:32)

    Zitat von Sternenfahrer

    Ich würde umgekehrt fragen, was möchtest Du denn?

    Okay, Requirement Engineering. Das gefällt mir. :)

    1. Anforderung: Portability. W6 war praktisch, weil überall dabei. Aber da ich meist eh daheim spiele, wäre eine andere Lösung auch okay. Klein wäre dennoch gut.

    2. Anforderung. Usability. Der Wetterwert soll innerhalb von 1 Sekunde bestimmt werden können. (Also Rechnen nur im Ausnahmefall.)

    3. Anforderung: Die Steuerung sollte nicht zu groß sein. Ich denke 4-8 Züge wäre eine gute Streuung bei einem Mittelwert von 6. Damit erreiche ich viel in einer Partie, aber nicht alles.

    Zitat von Sternenfahrer

    z.B. geht der Wetterstein grundsätzlich drei Schritte, und Du manipulierst diesen Wert, z.B. von -2 bis +1.

    Wenn die Manipulation über einen Würfel geschieht mit "-2, -1, -1, 0, 0, +1" ist das dann doch identisch zu "1, 2, 2, 3, 3, 4". Nur dass ich eben nicht rechnen muss, oder?

    Gruß Dee

    Öhm ich schlage vor, einen W6 mit nur Einsen zu nehmen, denn alle anderen Szenarien haben ein Worst- und ein Best-Case-Szenario. ;)

    Kürzt dann auch die Diskussionen rund um einen W6 mit 2,3,3,4,4,5 ab, bei dem ein Extrem-Szenario zwar unwahrscheinlicher wird, aber existiert. Etc etc

    Also ja, man kann natürlich Extremszenarien minimieren, kann den Gedanken aber nicht so ganz greifen, wieso man ein Spiel, dass anscheinend Würfel"glück" als Faktor hat, dahingehend zu manipulieren, dass man Extreme möglichst eliminiert.

    d8d2: Weil ich (und viele andere auch) sehr frustriert beim Spielen sind. Ich brach eine Partie, weil ich in der ersten Runde die Werte 6, 5, 6 würfelte und damit nur 2, 1, 2 Bewegungsschritte hatte. Ich kam teilweise nicht einmal mehr zu einem validen Wegepunkt, sondern konnte nur stehenbleiben. Das ist dann halt Frust und kein Spaß.

    Das Spiel macht Spaß, wenn Du eine Herausforderung hast. Die Herausforderung muss aber machbar sein und nicht zu stark vom Glück abhängen. Mit 16 Zügen pro Runde ist das Spiel witzlos, weil ich alles machen kann. Mit 3 Zügen ist es witzlos, weil ich nichts erreiche. Spielspaß entsteht in der Mitte. Und deswegen sollten die Extreme eingegrenzt werden. Das ist meines Wissens in den meisten Spieledesigns auch so umgesetzt.

    Und jetzt bitte zurück zur Frage, WIE ich etwas berechnen kann und nicht WIESO ich das berechnen will.

    Gruß Dee

    Zitat von Dee

    (...) Wenn die Manipulation über einen Würfel geschieht mit "-2, -1, -1, 0, 0, +1" ist das dann doch identisch zu "1, 2, 2, 3, 3, 4". Nur dass ich eben nicht rechnen muss, oder?

    Das stimmt, da hast Du Recht, aber für mich fühlt es sich anders an. :)

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    Einmal editiert, zuletzt von Sternenfahrer (31. Juli 2023 um 10:16)

    Mich nervt diese extreme Streung im Solospiel auch etwas, weshalb ich es auch noch nicht so oft auf dem Tisch hatte alleine. Ein "bisschen" die Extreme einschränken wäre für mich aber auch keine sehr befriedigende Lösung. so spielt man nicht mehr das "offizielle" Spiel, hat aber trotzdem noch teilweise ähnliche Probleme in der vergleichbarkeit der Werte. Stattdessen könnte ich mir eher folgende Optionen vorstellen:

    1) Immer eine fixe Anzahl an Zügen (und somit potentiell besuchten Waypoints, abzüglich der Male wo man stehen bleiben will/muss)

    2) Offizielle Regeln, aber die Punkte skalieren mit der Anzahl der gemachten Züge in der Partie

    Ersteres könnte man vielleicht mit einem Kartendeck abfrühstücken, das in Summe immer genau die gleiche Anzahl an Zügen erzeugt, aber zumindest unterschiedliche Weglängen pro Zug generiert. Und zweiteres könnte man eventuell umsetzen, indem man das Endergebnis durch die Anzahl der Züge teilt (oder etwas komplexeres mit dem Ergebnis anstellt) um die Punktzahl bei vielen Zügen zu drücken, und bei wenigen Zügen etwas zu stärken, so dass am Ende vergleichbarere Werte herauskommen.

    1W6 und bei 1-3 erhöhst du deinen geworfen Wert um 1 bei 4-6 ziehst du eins ab. So sparst du dir den Custom Die mit 2,3,3,4,4,5.

    Evtl. 1W10 und 1W4 werfen und den W4 vom W10 abziehen. Du würdest da den erwarteten Mittelwert des W4 (2,5) vom Mittelwert des W10 (5,5) abziehen.

    Da ist jedoch noch Feintuning bei den Extrema notwendig.

    Ggf. Werte unter 1 und über 6 ignorieren und dann entweder neu werfen oder halt 1 bzw. 6 als Wert nehmen.

    Alternativ gehst du nach erreichen des Extremwertes wieder zurück, so dass ein W10 mit Ergebnis 10 und W4 mit 1 eine 9 werden und da 9 > 6 ist ziehst du die Differenz von 6 ab und würdest bei 3 landen. Bei 1 minus 4 das gleiche. Dann näherst du dich jedoch massiv dem erwarteten Mittelwert von 3 an und bist halt auch wieder beim Rechnen was du ja eigentlich vermeiden willst.

    diverse edits: 2W6 werfen und den Wert nehmen der näher am Mittelwert ist wäre auch eine Möglichkeit um Extrema etwas abzumindern sie aber nicht völlig auszuschließen - da brauchst du dann halt noch eine Lösung im Falle von 1 & 6, 2 & 5 sowie 3 & 4.

    Lösung für die durchgestrichene Problematik: entweder hintereinander werfen und den zweiten Wurf im Falle von gleichem Abstand zum Mittelwert nehmen oder 2 unterschiedlich farbige Würfel nehmen und immer die eine Farbe beim Gleichstand nehmen.

    3 Mal editiert, zuletzt von Cadwallader (31. Juli 2023 um 11:17)

    Zitat von Dracomar

    Ersteres könnte man vielleicht mit einem Kartendeck abfrühstücken, das in Summe immer genau die gleiche Anzahl an Zügen erzeugt, aber zumindest unterschiedliche Weglängen pro Zug generiert.

    Wäre auch eine Möglichkeit. Wenn ich sage, ich möchte immer 6 Züge haben und nehm die Karten "1, 1, 2, 3, 4, 5", ergibt das immer 16. Aber in meinen Augen werden die Solopartien dadurch nicht vergleichbarer. Nimm als Beispiel die Karte 01. Und setze jetzt die Kartenwerte 1, 3, 1, 2, 5, 4" ein, dann habe ich 12 Bewegungspunkte in den 6 Zügen. Wenn ich dagegen "2, 1, 3, 5, 1, 4" nehme, komme ich auf 21 Bewegungspunkte. Das ist fast das Doppelte und damit auch nicht wirklich vergleichbar, oder? Du bräuchtest ein Kartendeck, was immer die gleiche Anzahl an Bewegungspunkten erzeugt. Das macht die Wetterleiste aber obsolet.

    Aber: Vergleichbarkeit war keine Anforderung meinerseits (siehe oben). Das habe ich explizit nicht gefordert, weil dann zu viel modifiziert werden müsste.

    Gruß Dee

    Klar, man hat auch dadurch noch eine hohe Varianz. Aber damit kann man ja dann zum einen wesentlich besser planen, z.B. weiß ich welche Werte potentiell noch kommen können laut dem Deck bzw. ich laufe halt zu Waypoints oder plane meien Boni so, dass mir etwas mehr Flexibilität für den nächsten Zug gegeben ist. Und zum Anderen ist die Anzahl der Waypoints schon nochmal etwas gewichtiger im Bezug auf die Punktewertung als die tatsächliche Weglänge (auch wenn dadurch natürlich trotzdem noch die (Maximal-)Punkte beeinflusst werden können).

    Ich hatte die Vergleichbarkeit irgendwie als implizite Anforderung herausgelesen, da sie für mich das Hauptproblem ist. Klar sind auch "sinnlose" Durchläufe unabhängig von der Vergleichbarkeit nervig, aber wie oft passieren diese Extremfälle schon? Mir ist aber auch klar, dass bei einem Würfelspiel nie absolute Vergleichbarkeit herschen kann. Aber bei vielen Spielen dieser Art ist diese Randomness halt irgendwie gefühlt trotzdem weniger oder zumindest besser versteckt, und nicht so offensichtlich an der Anzahl der Züge ablesbar.

    Zitat von Dracomar

    Ich hatte die Vergleichbarkeit irgendwie als implizite Anforderung herausgelesen, da sie für mich das Hauptproblem ist.

    Nee, das stört mich gar nicht, da ich solo nicht dauerhaft spiele. Und im Mehrpersonenspiel haben ja alle die gleichen Werte.

    Es geht mir wirklich nur darum, den Frust abzufedern, der entstehen kann, weil man nichts erreicht. Und umgekehrr auch 2h Partien zu vermeiden, weil das das Spiel nicht trägt.

    Gruß Dee

    Vorab: Ich kenne das Spiel nicht, ich kenne mich nur ein kleines bisschen mit Mathematik aus...

    Mal andersrum gedacht: Wenn du im Vergleich zum W6 (jeweils 1/6 Wahrscheinlichkeit für 1/2/3/4/5/6) eigentlich nichts am Wertebereich von 1-6 ändern willst, sondern nur die Extreme unwahrscheinlicher werden sollen, dann willst du die Wahrscheinlichkeitsverteilung [1 1 1 1 1 1] / 6 mit [a b c c b a] ersetzen, so dass 2*(a+b+c) = 1 gilt und a<b<=c.

    Das lässt sich am einfachsten mit zwei W4 erreichen. Ein normaler W4 mit 1/2/3/4 und einer mit 0/1/1/2. (Die 0 und die 2 ergibt sich aus dem geforderten Wertebereich, dazwischen wird aufgefüllt.) Das zusammen gibt als Wahrscheinlichkeiten [1 3 4 4 3 1] / 16 für die Summen von 1-6. Oder mit Dezimalbrüchen:

    • normaler W6: [0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17]
    • zwei W4 wie beschrieben: [0.06 0.19 0.25 0.25 0.19 0.06]

    Ziel erreicht. Ob es W4 mit 0/1/1/2 Punkten irgendwo zu kaufen gibt oder ersatzweise Blanko-W4 zum eigenen Beschriften, bleibt dem Leser zur Übung überlassen... :)

    Als Nachtrag noch eine schnell zu bastelnde Alternative für Besitzer des genannten, mir unbekannten Spiels: Blanko-W6 gibt es, u.a. auch aus Holz, und da kann man problemlos 0/0/1/1/2/2 Punkte mit einem Edding draufmalen. Dazu einen normalen W4 mit 1/2/3/4 nehmen, beides zusammen werfen und addieren.

    Wahrscheinlichkeiten: [1 2 3 3 2 1] / 12 = [0.08 0.17 0.25 0.25 0.17 0.08] für die Werte von 1 bis 6.

    Wenn man es asymmetrischer haben will, d.h. nur hohe bzw. niedrige Werte noch unwahrscheinlicher machen will (z.B. weil im Solospiel zweimal hoch würfeln direkt Game Over bedeutet; sowas in der Art klang oben mal an), dann kann man den W6 alternativ auch mit 0/1/1/1/2/2 oder 0/0/1/1/1/2 beschriften. Dann hätte man an einem Ende nur noch 1/24 = 0,04 als Wahrscheinlichkeit. Außerdem wäre der Erwartungswert eines Wurfes dann nicht mehr 3,5, sondern um 0.17 höher bzw. niedriger.

    Zitat von Dee
    Zitat von Dracomar

    Ich hatte die Vergleichbarkeit irgendwie als implizite Anforderung herausgelesen, da sie für mich das Hauptproblem ist.

    Nee, das stört mich gar nicht, da ich solo nicht dauerhaft spiele. Und im Mehrpersonenspiel haben ja alle die gleichen Werte.

    Es geht mir wirklich nur darum, den Frust abzufedern, der entstehen kann, weil man nichts erreicht. Und umgekehrr auch 2h Partien zu vermeiden, weil das das Spiel nicht trägt.

    Gruß Dee

    Mich stört das leider schon bei einer einzelnen Partie, weil ich am Ende schwer einschätzen kann, ob ich jetzt gut oder schlecht gespielt habe.

    Zu deinem eigentlichen Problem fällt mir aber gerade auch noch eine recht simple Alternative ein:

    Solange keine 4 (oder beliebige andere untere Schranke) Züge erreicht sind, fängt man auf der Wetterleiste der gleichen Runde einfach wieder vorne an, bis die Mindestzüge erreicht sind und stoppt dann sofort. Auf der anderen Seite stoppt man die Runde einfach direkt sobald die obere Schranke (z.B. 8) erreicht ist.

    Da ja die Weglängen sowieso nie genau gleich verteilt sind, sollte das keinen großen Einfluss haben, und man kann sich das Rechnen oder modifizierte Würfel sparen.

    Weil ich nicht solo spiele und mit mehr Leuten dann erst Einigkeit erzielt werden müsste.

    Aber: natürlich könnte jeder reihum würfeln und durch die Wahl den Wert für alle vorgeben.

    Auf Map 01 ist das zwar fast entscheidungsfrei, weil man fast immer den höheren Bewegungswert nutzt. Auf Map02 haben hohe Werte auch Nachteile.

    Ich stell mir nur grad vor, wie das bei AP-Spielern wie mir aussieht, wenn ich zwei potentielle Routen und die der Mitspieler durchrechnen muss vor einer Entscheidung.

    Ist jedenfalls ein Versuch wert. Danke!

    Gruß Dee

    Noch ne Idee:

    Ich bin frischgebackener Besitzer der 2. Root-Erweiterung, die unter anderem 2 weitere D12 Würfel enthält (die also im Grunde redundant sind). Die Würfel fungieren spieltechnisch als D4 mit den Werten 0,1,2,3.

    Man könnte die summarisch nutzen mit den Outcomes:

    • 1x 6
    • 2x 5
    • 3x 4
    • 4x 3
    • 3x 2
    • 2x 1
    • 1x 0 (was dann Neuwürfeln hieße).

    Das würde ansatzweise einer zentrierten Ergebnis-Gewichtung entsprechen.

    Einmal editiert, zuletzt von hellvet (31. Juli 2023 um 16:02)